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数学期望(MATHEMATICAL EXPECTATION)
在这个问题上,我们需要理解数学期望的概念。数学期望有时也称为游戏者胜出(对游戏者来说期望为正)或庄家占优(对游戏者来说期望为负)。 如公式1
数学期望=(1+A)*P―1
其中,P=赢的概率,A=可能赢得的金额/可能输掉的金额
因此,如果你正要抛掷一枚硬币,出现正面你会赢得2美元,但出现反面你会输掉1美元,每抛一次的数学期望为:
数学期望=(1+2)*0.5―1
=3*0.5―1
=1.5―1
=0.5
换句话说,每抛一次硬币你预期平均赢得50美分。
这个刚刚描述的公式给出了有两种可能结果的事件的数学期望。有两种以上可能结果的条件下又当如何?下面的公式将给出结果为无限可能情况下的数学期望。它也能给出只有两种可能结果的事件(比如刚才描述的2对1抛硬币)的数学期望。因此,这个公式2是优先的。
数学期望=将每种可能的赢或输的金额分别与赢或输的概率相乘,然后对乘积求和(抱歉,不能写成原始公式!)
现在,我们来看在更复杂的新公式中2对1掷硬币的数学期望:
数学期望=(0.5*2)+(0.5*(-1))
=1+(-0.5)
=0.5
当然,在这个例子中,你的数学期望是每抛一次平均赢得50美分。
假定你在玩一种游戏,你必须猜中三个不同数字中的一个。每个数字出现的概率相同(0.33),但是,如果你猜中其中一个数字,你会输掉1美元,如果你猜中另一个数字,你会输掉2美元,如果你猜中正确的数字,你会赢得3美元。这种给定情况的数学期望(ME)为:
ME=(0.33*(-1))+(0.33*(-2))+(0.33*3)
=-0.33-0.66+0.99
=0
考虑对轮盘赌中的一个数字下注,你的数学期望为:
ME=((1/38)*35)+((37/38)*(-1))
=(0.02631578947*35)+(0.9736842105*(-1))
=(0.9210526315)+(-0.9736842105)
=-0.05263157903
如果你对轮盘赌(American
double-zero,美国加倍-零式轮盘赌)中一个数字下注1美元,每转一次你预期平均输掉5.26美分。如果你下注5美元,每转一次你预期平均输掉26.3美分。注意:尽管以数量表示的不同的下注数量具有不同数学期望,但是,以数量的百分数表示的下注数量的数学期望总是相同的。
游戏者对一系列下注的数学期望是单个下注的数学期望之和。因此,如果你在轮盘赌中对一个数字赌1美元,然后,对一个数字赌10美元,然后,对一个数字赌5美元,那么,你的总期望为:
ME=(-0.0526*1)+(-0.0526*10)+(-0.0526*5)
=-0.0526-0.526-0.263
=-0.8416
因此,你预期平均输掉84.16美分。
这个原理解释了为什么在赢或输的金额已知时(假定为独立试验过程),试图改变下注规模的系统是注定要失败的。负期望赌注的总和总是负的期望!
实值序列、可能结果及正态分布(EXACT SEQUENCES,POSSIBLE OUTCOMES,AND THE NORMAL DISTRIBUTION)
我们已经看到,抛一枚硬币给出两种可能结果(正面或反面)的概率陈述。我们的数学期望是这些可能结果的总和。现在,我们抛两枚硬币。可能结果如下表:
硬币一 硬币二 概率
正 正 0.25
正 反 0.25
反 正 0.25
反 反 0.25
这也可以表示为有25%的机会得到两个正面,25%的机会得到两个反面,50%的机会得到一个正面一个反面。以表格形式表示为:
组合 概率
二正零反 0.25 *
一正一反 0.50 **
零正二反 0.25 *
右边的星号说明可以有多少种不同的组合方式。例如,在上面抛两枚硬币时,一正一反有两个星号,因为有两种不同的方式可以得到这种组合。硬币A可以为正面硬币B可以为反面,或者与此相反,硬币A为反面,硬币B为正面。表格中星号的总数就是在抛那么多硬币(两枚)时,你可以得到的不同组合的总数。
如果抛三枚硬币,我们会有:
组合 概率
三正零反 0.125 *
两正一反 0.375 ***
一正两反 0.375 ***
零正三反 0.125 *
对于四枚硬币:
组合 概率
四正零反 0.0625 *
三正一反 0.25 ****
二正二反 0.375 *******
一正三反 0.25 ****
零正四反 0.0625 *
对于六枚硬币:
组合 概率
六正零反 0.0156 *
五正一反 0.0937 ******
四正二反 0.2344 ***************
三正三反 0.3125 ********************
二正四反 0.2344 ***************
一正五反 0.0937 ******
零正六反 0.0156 *
这里要注意:如果我们把星号作为纵轴绘制成曲线,我们就得出大家熟悉的钟形曲线,也称为正态分布或高斯分布(遗憾,图遗失!!!)
最后,对于十枚硬币:
组合 概率
十正零反 0.001 *
九正一反 0.01 **********
八正二反 0.044 *****(45种不同方式)
七正三反 0.117 *****(120种不同方式)
六正四反 0.205 *****(210种不同方式)
五正五反 0.246 *****(252种不同方式)
四正六反 0.205 *****(210种不同方式)
三正七反 0.117 *****(120种不同方式)
二正八反 0.044 *****(45种不同方式)
一正九反 0.01 **********
零正十反 0.001 *
注意:随着硬币数的增加,全部得到正面或全部得到反面的概率将减小。当我们用两枚硬币时,全部得到正面或全部得到反面的概率为0.25。三枚硬币的概率为0.125,四枚硬币的概率为0.0625;六枚硬币为0.0156,十枚硬币为0.001。
(注)实际上,在纯粹的统计学意义上,抛硬币并不服从正态概率函数,而是属于一种所谓的二项分布(亦称为伯努利分布或抛硬币分布)。然而,随着N的增大,二项分布的极限接近于正态分布(条件是相关概率不趋向于0或1)。这是因为正态分布是自右至左连续的,而二项分布则不是连续的,而且,正态分布总是对称的,而二项分布则不一定是对称的。因为我们处理的是抛有限枚硬币,试图使之对于抛硬币具有普遍的代表性,加之概率总是等于0.5,故此,我们可将抛硬币分布作为正态分布处理。需要进一步指出的是,如果事件发生N次的概率与对立事件发生N次的概率均大于0.5,正态分布可以被用作二项分布的近似。在我们抛硬币的例子中,因为事件的概率为0.5(对于正面或反面),且对立事件的概率为0.5,则,只要我们处理的是N大于等于11的情况,我们就可以用正态分布作为二项分布的近似。
可能结果与标准差(POSSIBLE OUTCOMES AND STANDARD DEVIATIONS)
把一枚硬币抛四次共计有16种可能的实值序列:
1. 正 正 正 正
2. 正 正 正 反
3. 正 正 反 正
4. 正 正 反 反
5. 正 反 正 正
6. 正 反 正 反
7. 正 反 反 正
8. 正 反 反 反
9. 反 正 正 正
10. 反 正 正 反
11. 反 正 反 正
12. 反 正 反 反
13. 反 反 正 正
14. 反 反 正 反
15. 反 反 反 正
16. 反 反 反 反
术语“实值序列”在这里表示一个随机过程的实际结果。给定条件下所有可能的实值序列的集合被称为样本空间。注意:上面所描述的抛四枚硬币可以是一次抛所有四枚硬币,或者是一枚硬币抛四次(即,它可以是一个时间序列)。
审视一下实值序列“反-正-正-反”和序列“正-正-反-反”,我们会发现其结果对于单调下注者(即,对每一种场合下一个单位的赌注)
可能一样的。不过,对于非单调下注者,这两个实值序列的最终结果可能会大不相同。对于单调下注者,抛四枚硬币的序列仅有5种可能的结果:
4正
3正1反
2正2反
1正3反
4反
正如我们已看到的,抛四枚硬币有16种可能的实值序列。这一事实可能会涉及到非单调下注者。我们将非单调下注者称为“系统”游戏者,因为那是他们最可能的行为—-基于某些他们认为自己已解决的方案进行变量下注。
如果你抛一枚硬币4次,你当然只能看到16种可能的实值序列中的一种。如果你再抛4次,你会看到另一种实值序列(尽管你有1/16=0.0625的概率能够看到同一种实值序列)。如果你前往一个游戏桌观看连续抛4次硬币,你将只看到16种实值序列中的一种。你也会看到5种可能的最终结果中的一种。每个实值序列具有相等的发生概率,即0.0625。但是,每个最终结果并不具有相等的发生概率:
最终结果 概率
4正 0.0625
3正1反 0.25
2正2反 0.375
1正3反 0.25
4反 0.0625 |
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