概率论与博彩2——玩时时彩必看教程

阿森纳

数学期望（MATHEMATICAL EXPECTATION）
　　在这个问题上，我们需要理解数学期望的概念。数学期望有时也称为游戏者胜出（对游戏者来说期望为正）或庄家占优（对游戏者来说期望为负）。 如公式1
　　数学期望=（1+A）*P―1
　　其中，P=赢的概率,A=可能赢得的金额/可能输掉的金额
　　因此，如果你正要抛掷一枚硬币，出现正面你会赢得2美元，但出现反面你会输掉1美元，每抛一次的数学期望为：
　　数学期望=（1+2）*0.5―1
　　 =3*0.5―1
　　 =1.5―1
　　 =0.5
　　换句话说，每抛一次硬币你预期平均赢得50美分。

　　这个刚刚描述的公式给出了有两种可能结果的事件的数学期望。有两种以上可能结果的条件下又当如何？下面的公式将给出结果为无限可能情况下的数学期望。它也能给出只有两种可能结果的事件（比如刚才描述的2对1抛硬币）的数学期望。因此，这个公式2是优先的。
　　数学期望=将每种可能的赢或输的金额分别与赢或输的概率相乘，然后对乘积求和（抱歉，不能写成原始公式！）
　　现在，我们来看在更复杂的新公式中2对1掷硬币的数学期望：
　　数学期望=（0.5*2）+（0.5*（-1））
　　 =1+（-0.5）
　　 =0.5
　　当然，在这个例子中，你的数学期望是每抛一次平均赢得50美分。
　　假定你在玩一种游戏，你必须猜中三个不同数字中的一个。每个数字出现的概率相同（0.33），但是，如果你猜中其中一个数字，你会输掉1美元，如果你猜中另一个数字，你会输掉2美元，如果你猜中正确的数字，你会赢得3美元。这种给定情况的数学期望（ME）为：
　　ME=（0.33*（-1））+（0.33*（-2））+（0.33*3）
　　 =-0.33-0.66+0.99
　　 =0
　　考虑对轮盘赌中的一个数字下注，你的数学期望为：
　　ME=（（1/38）*35）+（（37/38）*（-1））
　　 =（0.02631578947*35）+（0.9736842105*（-1））
　　 =（0.9210526315）+（-0.9736842105）
　　 =-0.05263157903
　　如果你对轮盘赌（American
double-zero，美国加倍-零式轮盘赌）中一个数字下注1美元，每转一次你预期平均输掉5.26美分。如果你下注5美元，每转一次你预期平均输掉26.3美分。注意：尽管以数量表示的不同的下注数量具有不同数学期望，但是，以数量的百分数表示的下注数量的数学期望总是相同的。
　　
　　游戏者对一系列下注的数学期望是单个下注的数学期望之和。因此，如果你在轮盘赌中对一个数字赌1美元，然后，对一个数字赌10美元，然后，对一个数字赌5美元，那么，你的总期望为：
　　ME=（-0.0526*1）+（-0.0526*10）+（-0.0526*5）
　　 =-0.0526-0.526-0.263
　　 =-0.8416
　　因此，你预期平均输掉84.16美分。
　　这个原理解释了为什么在赢或输的金额已知时（假定为独立试验过程），试图改变下注规模的系统是注定要失败的。负期望赌注的总和总是负的期望！
　　
实值序列、可能结果及正态分布（EXACT SEQUENCES，POSSIBLE OUTCOMES，AND THE NORMAL DISTRIBUTION）
　　我们已经看到，抛一枚硬币给出两种可能结果（正面或反面）的概率陈述。我们的数学期望是这些可能结果的总和。现在，我们抛两枚硬币。可能结果如下表：
　　硬币一 硬币二 概率
　　正 正 0.25
　　正 反 0.25
　　反 正 0.25
　　反 反 0.25
　　这也可以表示为有25%的机会得到两个正面，25%的机会得到两个反面，50%的机会得到一个正面一个反面。以表格形式表示为：
　　组合 概率
　　二正零反 0.25 *
　　一正一反 0.50 **
　　零正二反 0.25 *
　　右边的星号说明可以有多少种不同的组合方式。例如，在上面抛两枚硬币时，一正一反有两个星号，因为有两种不同的方式可以得到这种组合。硬币A可以为正面硬币B可以为反面，或者与此相反，硬币A为反面，硬币B为正面。表格中星号的总数就是在抛那么多硬币（两枚）时，你可以得到的不同组合的总数。
　　如果抛三枚硬币，我们会有：
　　组合 概率
　　三正零反 0.125 *
　　两正一反 0.375 ***
　　一正两反 0.375 ***
　　零正三反 0.125 *
　　
对于四枚硬币：
　　组合 概率
　　四正零反 0.0625 *
　　三正一反 0.25 ****
　　二正二反 0.375 *******
　　一正三反 0.25 ****
　　零正四反 0.0625 *
　　
　　对于六枚硬币：
　　组合 概率
　　六正零反 0.0156 *
　　五正一反 0.0937 ******
　　四正二反 0.2344 ***************
　　三正三反 0.3125 ********************
　　二正四反 0.2344 ***************
　　一正五反 0.0937 ******
　　零正六反 0.0156 *
　　
　　这里要注意：如果我们把星号作为纵轴绘制成曲线，我们就得出大家熟悉的钟形曲线，也称为正态分布或高斯分布（遗憾，图遗失！！！）
　　最后，对于十枚硬币：
　　组合 概率
　　十正零反 0.001 *
　　九正一反 0.01 **********
　　八正二反 0.044 *****（45种不同方式）
　　七正三反 0.117 *****（120种不同方式）
　　六正四反 0.205 *****（210种不同方式）
　　五正五反 0.246 *****（252种不同方式）
　　四正六反 0.205 *****（210种不同方式）
　　三正七反 0.117 *****（120种不同方式）
　　二正八反 0.044 *****（45种不同方式）
　　一正九反 0.01 **********
　　零正十反 0.001 *
　　
　　注意：随着硬币数的增加，全部得到正面或全部得到反面的概率将减小。当我们用两枚硬币时，全部得到正面或全部得到反面的概率为0.25。三枚硬币的概率为0.125，四枚硬币的概率为0.0625；六枚硬币为0.0156，十枚硬币为0.001。
　　（注）实际上，在纯粹的统计学意义上，抛硬币并不服从正态概率函数，而是属于一种所谓的二项分布（亦称为伯努利分布或抛硬币分布）。然而，随着N的增大，二项分布的极限接近于正态分布（条件是相关概率不趋向于0或1）。这是因为正态分布是自右至左连续的，而二项分布则不是连续的，而且，正态分布总是对称的，而二项分布则不一定是对称的。因为我们处理的是抛有限枚硬币，试图使之对于抛硬币具有普遍的代表性，加之概率总是等于0.5，故此，我们可将抛硬币分布作为正态分布处理。需要进一步指出的是，如果事件发生N次的概率与对立事件发生N次的概率均大于0.5，正态分布可以被用作二项分布的近似。在我们抛硬币的例子中，因为事件的概率为0.5（对于正面或反面），且对立事件的概率为0.5，则，只要我们处理的是N大于等于11的情况，我们就可以用正态分布作为二项分布的近似。
     可能结果与标准差（POSSIBLE OUTCOMES AND STANDARD DEVIATIONS）
把一枚硬币抛四次共计有16种可能的实值序列：
　　
　　1. 正 正 正 正
　　2. 正 正 正 反
　　3. 正 正 反 正
　　4. 正 正 反 反
　　5. 正 反 正 正
　　6. 正 反 正 反
　　7. 正 反 反 正
　　8. 正 反 反 反
　　9. 反 正 正 正
　　10. 反 正 正 反
　　11. 反 正 反 正
　　12. 反 正 反 反
　　13. 反 反 正 正
　　14. 反 反 正 反
　　15. 反 反 反 正
　　16. 反 反 反 反
　　
　　术语“实值序列”在这里表示一个随机过程的实际结果。给定条件下所有可能的实值序列的集合被称为样本空间。注意：上面所描述的抛四枚硬币可以是一次抛所有四枚硬币，或者是一枚硬币抛四次（即，它可以是一个时间序列）。
　　审视一下实值序列“反-正-正-反”和序列“正-正-反-反”，我们会发现其结果对于单调下注者（即，对每一种场合下一个单位的赌注）
可能一样的。不过，对于非单调下注者，这两个实值序列的最终结果可能会大不相同。对于单调下注者，抛四枚硬币的序列仅有5种可能的结果：
　　4正
　　3正1反
　　2正2反
　　1正3反
　　4反
　　正如我们已看到的，抛四枚硬币有16种可能的实值序列。这一事实可能会涉及到非单调下注者。我们将非单调下注者称为“系统”游戏者，因为那是他们最可能的行为—-基于某些他们认为自己已解决的方案进行变量下注。
　　如果你抛一枚硬币4次，你当然只能看到16种可能的实值序列中的一种。如果你再抛4次，你会看到另一种实值序列（尽管你有1/16=0.0625的概率能够看到同一种实值序列）。如果你前往一个游戏桌观看连续抛4次硬币，你将只看到16种实值序列中的一种。你也会看到5种可能的最终结果中的一种。每个实值序列具有相等的发生概率，即0.0625。但是，每个最终结果并不具有相等的发生概率：
　　最终结果 概率
　　4正 0.0625
　　3正1反 0.25
　　2正2反 0.375
　　1正3反 0.25
　　4反 0.0625